import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as scipy
import seaborn as sns

# Laden vom Datensatz
df = sns.load_dataset('mpg')

# Datensatz zeigen
df.head()

	mpg	cylinders	displacement	horsepower	weight	acceleration	model_year	origin	name
0	18.0	8	307.0	130.0	3504	12.0	70	usa	chevrolet chevelle malibu
1	15.0	8	350.0	165.0	3693	11.5	70	usa	buick skylark 320
2	18.0	8	318.0	150.0	3436	11.0	70	usa	plymouth satellite
3	16.0	8	304.0	150.0	3433	12.0	70	usa	amc rebel sst
4	17.0	8	302.0	140.0	3449	10.5	70	usa	ford torino

• mpg steht für miles per gallon und ist eine übliche Maßeinheit für den Treibstoffverbrauch von Fahrzeugen.
• cylinders beschreibt den Zylinder.
• displacement beschreibt den Hubraum.
• horsepower beschreibt die Pferdestärke (PS).
• weight beschreibt das Gewicht des Autos.
• acceleration beschreibt die Beschleunigung.
• model_year beschreibt das Modelljahr.
• origin beschreibt die Herkunft des Autos.
• name gibt den Namen des Autos an.

describe() gibt die Standardmetriken wie den Mittelwert mean, die Standardabweichung std, Minimum, Maximum und die Quantile (25 %, 50 % und 75 %) zurück. Falls include='all' gesetzt wird, zeigt die deskriptive Statistik auch die nominalen Variablen an. Für jene Variablen werden die Werte unique, top (häufigster Wert) und feq (Häufigkeit des häufigsten Wertes) angezeigt.

# Deskriptive Statistik für numerische Spalten
deskriptive_statistik = df.describe()
deskriptive_statistik

	mpg	cylinders	displacement	horsepower	weight	acceleration	model_year
count	398.000000	398.000000	398.000000	392.000000	398.000000	398.000000	398.000000
mean	23.514573	5.454774	193.425879	104.469388	2970.424623	15.568090	76.010050
std	7.815984	1.701004	104.269838	38.491160	846.841774	2.757689	3.697627
min	9.000000	3.000000	68.000000	46.000000	1613.000000	8.000000	70.000000
25%	17.500000	4.000000	104.250000	75.000000	2223.750000	13.825000	73.000000
50%	23.000000	4.000000	148.500000	93.500000	2803.500000	15.500000	76.000000
75%	29.000000	8.000000	262.000000	126.000000	3608.000000	17.175000	79.000000
max	46.600000	8.000000	455.000000	230.000000	5140.000000	24.800000	82.000000

# Deskriptive Statistik für alle Spalten (inkl. nicht-numerische)
komplette_statistik = df.describe(include='all')
komplette_statistik

	mpg	cylinders	displacement	horsepower	weight	acceleration	model_year	origin	name
count	398.000000	398.000000	398.000000	392.000000	398.000000	398.000000	398.000000	398	398
unique	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	3	305
top	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	usa	ford pinto
freq	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	249	6
mean	23.514573	5.454774	193.425879	104.469388	2970.424623	15.568090	76.010050	NaN	NaN
std	7.815984	1.701004	104.269838	38.491160	846.841774	2.757689	3.697627	NaN	NaN
min	9.000000	3.000000	68.000000	46.000000	1613.000000	8.000000	70.000000	NaN	NaN
25%	17.500000	4.000000	104.250000	75.000000	2223.750000	13.825000	73.000000	NaN	NaN
50%	23.000000	4.000000	148.500000	93.500000	2803.500000	15.500000	76.000000	NaN	NaN
75%	29.000000	8.000000	262.000000	126.000000	3608.000000	17.175000	79.000000	NaN	NaN
max	46.600000	8.000000	455.000000	230.000000	5140.000000	24.800000	82.000000	NaN	NaN

Aufgabe 1: Berechne die Korrelation zwischen mpg und horsepower und stelle diese grafisch dar.

# Berechnung der Korrelation
korrelation = df['mpg'].corr(df['horsepower'])
print(f"Die Korrelation zwischen mpg und horsepower beträgt {korrelation.round(2)}")

Die Korrelation zwischen mpg und horsepower beträgt -0.78

# Grafische Darstellung: Scatterplot mit Regressionslinie
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.regplot(data=df, x='horsepower', y='mpg', scatter_kws={'alpha': 0.6}, line_kws={'color': 'red'}, ci=95)
plt.title(f"Korrelation zwischen mpg und horsepower: {korrelation:.2f}")
plt.xlabel('Horsepower')
plt.ylabel('Miles per Gallon')
plt.grid(True)
plt.show()

Aufgabe 2: Berechne die Spannweite und den Interquartilsabstand von mpg.

Q3 = deskriptive_statistik.mpg.iloc[-2] # Alternativ df['mpg'].quantile(0.75) 
Q1 = deskriptive_statistik.mpg.iloc[4] # Alternativ df['mpg'].quantile(0.25) 
IQA = Q3 - Q1

print(f"Der Interquartilsabstand von mpg beträgt {IQA}")

Der Interquartilsabstand von mpg beträgt 11.5

MAX = deskriptive_statistik.mpg.iloc[-1] # Alternativ df['mpg'].max()
MIN = deskriptive_statistik.mpg.iloc[3] # Alternativ df['mpg'].min()
SW = MAX - MIN

print(f"Die Spannweite von mpg beträgt {SW}.")
print(f"Demnach benötigt jenes Auto mit dem höchsten Verbrauch {SW} Miles per Gallon mehr als das Auto mit dem niedrigsten Verbrauch.")

Die Spannweite von mpg beträgt 37.6.
Demnach benötigt jenes Auto mit dem höchsten Verbrauch 37.6 Miles per Gallon mehr als das Auto mit dem niedrigsten Verbrauch.

Aufgabe 3: Bestimme die Ausreißer von Miles per Gallon mpg mit dem IQA.

# Grenzen für Ausreißer
untere_grenze = Q1 - 1.5 * IQA
obere_grenze = Q3 + 1.5 * IQA

# Identifikation der Ausreißer
ausreißer = df[(df['mpg'] < untere_grenze) | (df['mpg'] > obere_grenze)]

print(f"Untere Grenze: {untere_grenze}")
print(f"Obere Grenze: {obere_grenze}")
print(f"Anzahl der Ausreißer: {len(ausreißer)}")
print("Ausreißer:")
ausreißer

Untere Grenze: 0.25
Obere Grenze: 46.25
Anzahl der Ausreißer: 1
Ausreißer:

	mpg	cylinders	displacement	horsepower	weight	acceleration	model_year	origin	name
322	46.6	4	86.0	65.0	2110	17.9	80	japan	mazda glc

plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.boxplot(data=df, y='mpg')
plt.title('Boxplot von MPG mit Ausreißern')
plt.ylabel('MPG')
plt.show()

Aufgabe 4: Berechne die mittlere absolute Abweichung bezüglich Mittelwert von horsepower und die empirische Varianz der cylinders. Bezüglich der empirischen Varianz kann angenommen werden, dass es sich um eine Stichprobe handelt.

# Berechnung des Mittelwerts von horsepower
mean_horsepower = df['horsepower'].mean()

# Berechnung der mittleren absoluten Abweichung (MAD)
mad_horsepower = np.mean(np.abs(df['horsepower'] - mean_horsepower))

print(f"Mittelwert von horsepower: {mean_horsepower.round(2)}")
print(f"Mittlere absolute Abweichung (MAD) von horsepower: {mad_horsepower.round(2)}")

Mittelwert von horsepower: 104.47
Mittlere absolute Abweichung (MAD) von horsepower: 30.36

# Berechnung der empirischen Varianz der 'cylinders' Spalte
var_cylinders = df['cylinders'].var(ddof=1)

print(f"Empirische Varianz von cylinders : {var_cylinders.round(4)}")

Empirische Varianz von cylinders : 2.8934

Aufgabe 5: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Auto aus dem Datensatz nicht aus den USA stammt?

# Gesamte Anzahl an Autos
total_cars = len(df)

# Autos nicht aus den USA
not_usa_cars = len(df[df['origin'] != 'usa'])

# Wahrscheinlichkeit
p_not_usa = not_usa_cars / total_cars
print(f"P(NotUSA): {p_not_usa:.2f}")

P(NotUSA): 0.37

Aufgabe 6: Falls ein Auto 6 Zyklinder hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als 30 Miles per Gallon braucht?

# Autos mit 6 Zylindern
cars_6_cyl = df[df['cylinders'] == 6]

# Autos mit 6 Zylindern und mehr als 30 mpg
cars_6_cyl_30mpg = cars_6_cyl[cars_6_cyl['mpg'] > 30]

# Bedingte Wahrscheinlichkeit
p = len(cars_6_cyl_30mpg) / len(cars_6_cyl)
print(f"P(MPG > 30 | Zylinder = 6): {p:.2f}")

P(MPG > 30 | Zylinder = 6): 0.04

Aufgabe 7: Wie sieht die diskrete Verteilung der Zylinderanzahl aus? Hinweis: Verwende value_counts().

# Häufigkeitsverteilung der Zylinder
cyl_freq = df['cylinders'].value_counts()

# Wahrscheinlichkeitsverteilung
cyl_prob = cyl_freq / total_cars
print(cyl_prob.sort_index())

# Bin-Grenzen definieren (rechts offen, links geschlossen)
bins = np.arange(cyl_prob.index.min(), cyl_prob.index.max() + 2) # + 2, um das letzte Intervall abzudecken

# Histogramm
df['cylinders'].hist(density=True, bins=bins, align='left', rwidth=0.98)

# Achsentitel und Beschriftungen hinzufügen
plt.xlabel('Zylinder')
plt.ylabel('p')
plt.title('Histogramm der Zylinder')
plt.xticks(bins)
plt.show()

cylinders
3    0.010050
4    0.512563
5    0.007538
6    0.211055
8    0.258794
Name: count, dtype: float64

Aufgabe 8: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto höchstens x Zylinder hat? Anmerkung: Stelle die kumulative Verteilungsfunktion dar.

# Histogramm-Werte und Häufigkeiten
hist, edges = np.histogram(df['cylinders'], bins=bins, density=True)

# Die kumulative Verteilungsfunktion berechnen
cdf = np.cumsum(hist * np.diff(edges))  # Wahrscheinlichkeiten aufsummieren

# cdf plotten
plt.step(edges[:-1], cdf, where='post', label='cdf', color='red')

# Zusätzliche Achsentitel und Beschriftungen
plt.xlabel('Zylinder')
plt.ylabel('cdf')
plt.title('Kumulative Verteilungsfunktion')
plt.xticks(bins)
plt.show()

Aufgabe 9: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto 4 Zyklinder hat und aus Europa stammt?

# Autos mit 4 Zylindern und aus Europa
cars_4_cyl_europa = df[(df['cylinders'] == 4) & (df['origin'] == 'europe')]

# Gemeinsame Wahrscheinlichkeit
p_cyl_4_and_europa = len(cars_4_cyl_europa) / total_cars
print(f"P(4 Zylinder und Europa): {p_cyl_4_and_europa:.2f}")

P(4 Zylinder und Europa): 0.16

Aufgabe 10: Wir wissen, dass ein Auto weniger als 20 Miles per Gallon verbraucht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto aus den USA stammt?

# Alle Autos, die weniger als 20 mpg verbrauchen
mpg_low = df[df['mpg'] < 20]

# Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B | A)
p_usa_given_mpg_low = len(mpg_low[mpg_low['origin'] == 'usa']) / len(mpg_low)

print(f"P(USA | MPG < 20): {p_usa_given_mpg_low:.2f}")

P(USA | MPG < 20): 0.94

# Alternativ: Satz von Bayes

# Autos die nicht aus den USA stammen
not_usa_cars = df[df['origin'] != 'usa']

# 1. P(B): Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto aus den USA stammt
usa_cars = df[df['origin'] == 'usa']
p_usa = len(usa_cars) / len(df)

# 2. P(A | B)
p_mpg_low_given_usa = len(usa_cars[usa_cars['mpg'] < 20]) / len(usa_cars)

# 3. P(A | B^c)
p_mpg_low_given_not_usa = len(not_usa_cars[not_usa_cars['mpg'] < 20]) / len(not_usa_cars)

# 4. P(A): Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto weniger als 20 mpg verbraucht
p_mpg_low = len(df[df['mpg'] < 20]) / len(df)

# 5. P(B | A): Satz von Bayes
p_usa_given_mpg_low = (p_mpg_low_given_usa * p_usa) / (p_usa * p_mpg_low_given_usa + (1 - p_usa) * p_mpg_low_given_not_usa)

print(f"P(USA | MPG < 20): {p_usa_given_mpg_low:.2f}")

P(USA | MPG < 20): 0.94

Aufgabe 11: Berechne die Schiefe und Wölbung der Variable weights und interpretiere die Ergebnisse.

# Funktion zur Berechnung der Schiefe
def calculate_skewness(data):
    n = len(data)
    mean = np.mean(data)
    std = np.std(data, ddof=1)  # Stichprobenstandardabweichung
    skewness = (1 / n) * np.sum(((data - mean) / std) ** 3)
    return skewness

# Funktion zur Berechnung der Wölbung
def calculate_kurtosis(data):
    n = len(data)
    mean = np.mean(data)
    std = np.std(data, ddof=1)  # Stichprobenstandardabweichung
    kurtosis = (1 / n) * np.sum(((data - mean) / std) ** 4)
    return kurtosis

skewness = calculate_skewness(df['weight'])
kurtosis = calculate_kurtosis(df['weight'])
    
print(f"Die Schiefe ist {skewness} und größer 0 bedeutet, dass eine rechtsschiefe bzw. linkssteile Verteilung vorliegt.")
print(f"Die Wölbung ist {kurtosis} und kleiner 3 bedeutet, dass die vorliegende Verteilung flachgipfliger als die Normalverteilung ist.")

Die Schiefe ist 0.5270662340015831 und größer 0 bedeutet, dass eine rechtsschiefe bzw. linkssteile Verteilung vorliegt.
Die Wölbung ist 2.1981794047193333 und kleiner 3 bedeutet, dass die vorliegende Verteilung flachgipfliger als die Normalverteilung ist.

Aufgabe 12: Simuliere den zentralen Grenzwertsatz anhand von weight, indem eine zufällige Stichprobe der Größe 10 gezogen wird und anschließend die Verteilung der Mittelwerte gezeigt wird. Anmerkung: Wir ziehen in diesem Beispiel Stichproben aus einer Stichprobe.

weights = df['weight'].dropna()

# Parameter für die Simulation
num_samples = 100000  # Anzahl der Stichproben
sample_size = 10    # Größe jeder Stichprobe

# Mittelwerte der Stichproben berechnen
sample_means = []
for _ in range(num_samples):
    sample = np.random.choice(weights, size=sample_size, replace=True)
    sample_means.append(np.mean(sample))

# Histogramm der Mittelwerte plotten
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(sample_means, bins=30, color="skyblue", edgecolor="black", density=True)
plt.title("Verteilung der Stichprobenmittelwerte")
plt.xlabel("Stichprobenmittelwert")
plt.ylabel("f(x)")
plt.show()

Der zentrale Grenzwertsatz zeigt, dass die Verteilung der Stichprobenmittelwerte näherungsweise normal verteilt ist, selbst wenn die ursprüngliche Verteilung nicht normal ist.

Aufgabe 13: Berechne das 95 % Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Stichprobenmittelwerte aus Aufgabe 12. In anderen Worten sind wir an einem Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Verteilung aus Aufgabe 12 interessiert.

alpha = 0.05  # Signifikanzniveau (1 - 0.95)
n = len(sample_means)  # Stichprobengröße
mean_sample_means = np.mean(sample_means)  # Stichprobenmittelwert
std_sample_means = np.std(sample_means, ddof=1)  # Stichprobenstandardabweichung

# Kritischer Wert aus der t-Verteilung
t_critical = scipy.t.ppf(1 - alpha / 2, df=n-1)

# Standardfehler des Mittelwerts
std_error = std_sample_means / np.sqrt(n)

# Konfidenzintervall berechnen
lower_bound = mean_sample_means - t_critical * std_error
upper_bound = mean_sample_means + t_critical * std_error

print(f"95 %-Konfidenzintervall: ({lower_bound:.2f}, {upper_bound:.2f})")

95 %-Konfidenzintervall: (2967.98, 2971.30)

Aufgabe 14: Wir sind daran interessiert, ob das durchschnittliche Gewicht von Autos aus den USA signifikant höher ist als das von Autos aus Europa. Prüfe dies zum Signifikanzniveau von 0.05.

# Filtern der Daten nach Herkunft
usa_weights = df[df['origin'] == 'usa']['weight'].dropna()
europe_weights = df[df['origin'] == 'europe']['weight'].dropna()

n = len(usa_weights)
alpha = 0.05

# H0: Autos aus USA sind leichter oder gleich schwer als Autos aus Europa
# H1: Autos aus USA sind schwerer als Autos aus Europa

usa_mean = np.mean(usa_weights)
europe_mean = np.mean(europe_weights)

# H0: usa_mean <= europe_mean
# H1: usa_mean > europe_mean

# Stichprobenstandardabweichung von Autos aus den USA (an diesen sind wir interessiert)
std_usa = np.std(usa_weights, ddof=1) 

# Teststatistik
t = (1 / std_usa) * np.sqrt(n) * (usa_mean - europe_mean)

# Kritischer Wert aus der t-Verteilung
t_critical = scipy.t.ppf(1 - alpha, df=n-1)

# Wir lehnen H0 ab, falls t > t_critical ist 
if t > t_critical:
    print("Die Nullhypothese wird abgelehnt und die Alternativhypothese wird angenommen.")
    print("Demnach sind die Autos aus den USA signifikant schwerer als die Autos aus Europa")
else: 
    print("Die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.")

Die Nullhypothese wird abgelehnt und die Alternativhypothese wird angenommen.
Demnach sind die Autos aus den USA signifikant schwerer als die Autos aus Europa